Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的一個最高點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，

3π

2

），且f（

α

2

-

5π

12

）=

6

5

，求f（

α

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖象可得A=2，由周期可得ω，代點(diǎn)可解φ，可得解析式；（Ⅱ）由題意易得cosα=-

3

5

，可得sinα=-

4

5

，而f（

α

2

）=sinα+

3

cosα，代入化簡即可．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象結(jié)合題意可知A=2，又圖象過點(diǎn)（-

π

6

，0）和（

π

12

，2）
∴

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

），解得ω=2，
∴2sin（-

π

6

×2+φ）=0，結(jié)合φ∈（0，

π

2

）可得φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（

α

2

-

5π

12

）=2sin（α-

π

2

）=

6

5

，
∴sin（α-

π

2

）=-cosα=

3

5

，∴cosα=-

3

5

，
又∵α∈（π，

3π

2

），∴sinα=-

4

5

，
∴f（

α

2

）=2sin（α+

π

3

）=sinα+

3

cosα
=-

4

5

-

3

5

3

=-

4+3 3

5

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)解析式的求解，涉及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬中檔題．