【題目】已知函數(shù)f (x)=
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明.

【答案】
(1)解:由x2﹣1≠0得:x≠±1,

故函數(shù)f (x)= 的定義域為:{x|x≠±1}


(2)解:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),理由如下:

證法一:∵f (x)=

∴f′(x)=

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0恒成立,

故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù);

證法二:任取a,b∈(1,+∞),且a<b,

則a2﹣1>0,b2﹣1>0,b+a>0,b﹣a>0,

則f(a)﹣f(b)= = = >0,

故f(a)>f(b),

故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)


【解析】(1)解x2﹣1≠0得f(x)的定義域;(2)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)
證法一:求導,分析導函數(shù)在(1,+∞)上的符號,可得結(jié)論;
證法二:任取a,b∈(1,+∞),且a<b,作差比較f(a)與f(b)的大小,結(jié)合單調(diào)性的定義,可得結(jié)論;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零,以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的理解,了解單調(diào)性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,橢圓 的離心率是,且直線 被橢圓截得的弦長為

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)若直線與圓 相切:

(i)求圓的標準方程;

(ii)若直線過定點,與橢圓交于不同的兩點、,與圓交于不同的兩點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設關(guān)于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集為A,且 ∈A,﹣ A.
(1)對任意的x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值.
(2)若a+b=1,a,b∈R+ , 求 + 的最小值,并指出取得最小值時a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當時,證明:對任意的,有.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大;
(2)若a=2,b= ,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足:Sn= an2+ an+ (n∈N*
(1)求an
(2)設數(shù)列{ }的前n項和為Tn , 證明:對一切正整數(shù)n,都有Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識問答活動,隨機對該市18~68歲的人群抽取一個容量為n的樣本,并將樣本數(shù)據(jù)分成五組:[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68),再將其按從左到右的順序分別編號為第1組,第2組,…,第5組,繪制了樣本的頻率分布直方圖;并對回答問題情況進行統(tǒng)計后,結(jié)果如下表所示.

組號

分組

回答正確的人數(shù)

回答正確的人數(shù)占本組的比例

第1組

[18,28)

5

0.5

第2組

[28,38)

18

a

第3組

[38,48)

27

0.9

第4組

[48,58)

x

0.36

第5組

[58,68)

3

0.2


(1)分別求出a,x的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人,則第2,3,4組每組應各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎,求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓的左、右焦點,為坐標原點,點在橢圓上,線段軸的交點為,且

1)求橢圓的標準方程;

2)圓是以為直徑的圓,直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點,,當,且滿足時,求的面積的取值范圍.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),并且當x∈(0,+∞)時,f(x)=2x
(1)求f(log2 )的值;
(2)求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案