Question

【題目】已知離心率為的橢圓焦點(diǎn)在軸上，且橢圓個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由離心率率與面積，可求得。（2）由（1）橢圓方程為，設(shè)直線的方程為，由直線橢圓方程組方程組，再由判別式， ，這兩個(gè)不等式可求得參數(shù)k的范圍，再由的坐標(biāo)表示及點(diǎn)P在橢圓上，可求得與k的有關(guān)系，通過(guò)k的范圍求出的范圍。

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意可知，得， ；

又頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形的是菱形，面積，所以， ，橢圓方程為.

（2）設(shè)直線的方程為或， ， ， ，

當(dāng)的方程為時(shí)， ，與題意不符.

當(dāng)的方程為時(shí)，由題設(shè)可得、的坐標(biāo)是方程組的解.

消去得，所以，即，

則， ， ，

因?yàn)?/span> ，所以 ，

解得，所以.

因?yàn)?/span>，即，

所以當(dāng)時(shí)，由，得， ，

上述方程無(wú)解，所以此時(shí)符合條件的直線不存在：

當(dāng)時(shí)， ， ，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以，則.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.