Question

一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個5位的二進制數(shù)A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位數(shù)字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10101，即表示a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，而ξ=3），當儀器啟動一次時，
（1）求ξ=3的概率；
（2）求ξ的概率分布列；
（3）若啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=10101則稱這次試驗成功，求5次重復試驗成功的次數(shù)的期望．

Answer 1

解：（1）由題意知數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)符合獨立重復試驗，
當ξ=3時的概率，相當于在后面的4個數(shù)中出現(xiàn)2個1，

（2）ξ的可能取值為1，2，3，4，5，

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
p

（3）啟動一次出現(xiàn)數(shù)字為A=|0|0|的概率
由題意知變量符合二項分布，
根據(jù)成功概率和實驗的次數(shù)的值，
有
∴η的數(shù)學期望為．
分析：（1）此題需要進行轉(zhuǎn)化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的試驗結(jié)果已經(jīng)確定；當ξ=3時的概率，相當于在后面的4個數(shù)中出現(xiàn)2個1，計算可得答案；
（2）分析ξ的取值情況，結(jié)合變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式，做出變量對應的概率，并列出ξ值的分布列，
（3）由題意知變量符合二項分布，根據(jù)成功概率和實驗的次數(shù)，用二項分布的期望公式得到結(jié)果．
點評：本題考查的知識點是n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，由a₁=1，將ξ=n，轉(zhuǎn)化為后面的4個數(shù)中出現(xiàn)n-1個1是解答本題的關鍵．