Question

5．某同學在獨立完成課本上的例題：“求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又進行了探究，發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立.$\sqrt{0}+\sqrt{10}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}+\sqrt{8.7}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{2}+\sqrt{8}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}+\sqrt{5.4}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{5}+\sqrt{5}≤2\sqrt{5}$
經過認真地分析、嘗試，該同學歸納出一個一般性的不等式：$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y∈[0，+∞））．請用合適的方法證明該不等式成立．

Answer 1

分析 運用分析法證明，通過兩邊平方和完全平方公式，即可得證．

解答 證明：要證：$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
兩邊平方即證x+y+2$\sqrt{xy}$≤2（x+y），
即為x+y-2$\sqrt{xy}$≥0，
即有（$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$）²≥0，
上式顯然成立，且當且僅當x=y取得等號．

點評 本題考查歸納思想的運用以及不等式的證明，注意運用分析法證明，考查推理和歸納能力，屬于中檔題．