Question

函數f（x+1）是R上的奇函數，?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則f（1-x）＞0的解集是

1. A.
   （-∞，0）
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   （-1，1）
4. D.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

B
分析：由（x₁-x₂）[f（x₁ ）-f（x₂）]＜0知f（x）是減函數，又f（x+1）是R上的奇函數，知x=0時，f（0+1）=0；
由奇函數的性質f（-x+1）=-f（x+1），且f（1-x）＞0，得f（x+1）＜0，從而得f（x+1）＜f（1），再由f（x）是減函數可得x的取值范圍；
解答：∵?x₁，x₂∈R，有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴當x₁＞x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數；
又函數f（x+1）是R上的奇函數，
∴當x=0時，f（0+1）=f（1）=0；
由奇函數的性質知，f（-x+1）=-f（x+1），又f（1-x）＞0，∴-f（x+1）＞0，∴f（x+1）＜0；
又f（x）為R上的減函數，由f（x+1）＜0得f（x+1）＜f（1），∴x+1＞1，即x＞0；
故選：B．
點評：本題綜合考查了函數的單調性和奇偶性，解題時應靈活應用概念等知識歸納、思考，是容易出錯的題目．