Question

19．已知f（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）求證：F（2-x）=-F（x）；
（2）求證：F（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若F（a）+F（b）＞0，求證：a+b＞2．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求出F（2-x）的解析式，可得F（2-x）=-F（x）；
（2）根據(jù)復函函數(shù)的單調(diào)性，可得f（2-x）在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：“增-減=增”，可得F（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）假設F（a）+F（b）＞0時，a+b≤2，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，得到矛盾，進而可得原結(jié)論正確．

解答 證明：（1）∵F（x）=f（x）-f（2-x）．
∴F（2-x）=f（2-x）-f[2-（2-x）]=f（2-x）-f（x）=-F（x）；
（2）∵f（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（2-x）在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：“增-減=增”可得：F（x）=f（x）-f（2-x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）假設F（a）+F（b）＞0時，a+b≤2，
若a+b≤2，則a≤2-b，
則F（a）+F（b）≤F（2-b）+F（b）=-F（b）+F（b）=0，
這與已知中F（a）+F（b）＞0矛盾，
故假設不成立，
故a+b＞2

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)的應用，根據(jù)已知令x，y等于適合的值，進而“湊”出要解答或證明的結(jié)論，是解答的關鍵．