Question

已知函數(shù)f（x）=x-sinx-

1

3

ax³，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）+sinx的極值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在R是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：常規(guī)題型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：第（1）問，求函數(shù)g（x）=f（x）+sinx的極值，要先判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極大值和極小值分別當(dāng)x取何值時(shí)取到；第（2）問證明函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成證明它的導(dǎo)數(shù)值在R上恒大于等于0的問題解決．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x-sinx-

1

3

x3+sinx=x-

1

3

x3
    g′（x）=1-x²令 g′（x）=1-x²=0，得x=±1，
   列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

∴g（x）_極小值=g（-1）=-

2

3

，g（x）_極大值=g（1）=

2

3

；
（2）f′（x）=1-cosx-ax²，
∵a＜0，∴-ax²≥0，
∵cosx≤1，∴1-cosx≥0
∴f′（x）=1-cosx-ax²≥0，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評：本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的基本問題，第（2）問的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)在R上恒大于等于0的問題解決，考查了轉(zhuǎn)化的思想．