解:(1)y=g
3(x)-f(x)=
…(1分)
所以函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間是
.…(3分)
(2)由已知得,
,…(4分)
設0<x
1<x
2≤2,
則
=
…(6分)
要使h(x)在(0,2]上是單調(diào)遞減的,必須h(x
1)-h(x
2)>0恒成立. …(7分)
因為x
2-x
1>0,0<x
1x
2<4,
所以1-tx
1x
2>0恒成立,即
恒成立,…(8分)[
因為
,所以
,
所以實數(shù)t的取值范圍是
.…(9分)
(3)解法一:由f(x)<mg
2(x),得x
2<m(-2x+1),①…(10分)
因為m>0且
,所以①式可化為
,②…(11分)
要使②式對任意
恒成立,只需
,
(12分)
因為
,所以當
時,函數(shù)
取得最小值3,…(12分)
所以
,又m>0,所以
,
故正數(shù)m的取值范圍是
.…(13分)
解法二:由f(x)<mg
2(x),得x
2+2mx-m<0,…(10分)
令f(x)=x
2+2mx-m,則f(x)<0對任意
恒成立,…(11分)
只需
,即
,解得
,…(12分)
故正數(shù)m的取值范圍是
. …(13分)
分析:(1)利用配方法求函數(shù)y=g
3(x)-f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由已知得,
,利用單調(diào)性的定義,可知要使h(x)在(0,2]上是單調(diào)遞減的,必須h(x
1)-h(x
2)>0恒成立,從而只需1-tx
1x
2>0恒成立,即
恒成立,故可求實數(shù)t的取值范圍;(3)解法一:由f(x)<mg
2(x),得x
2<m(-2x+1),分離參數(shù)可得
,從而問題轉(zhuǎn)化為
,
,利用配方法可求函數(shù)
的最小值3,故可求正數(shù)m的取值范圍;
解法二:由f(x)<mg
2(x),得x
2+2mx-m<0.構(gòu)造f(x)=x
2+2mx-m,則f(x)<0對任意
恒成立,只需
,即
,從而可求正數(shù)m的取值范圍.
點評:本題考查的重點是求參數(shù)的范圍問題,考查恒成立問題,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,解題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法,進而求函數(shù)的最值.