Question

10．已知函數(shù)$f（x）={log_a}（1-\frac{2}{x+1}）$（a＞0，a≠1）
（1）寫出函數(shù)f（x）的值域、單調(diào)區(qū)間（不必證明）
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇1+log_an，1+log_am]？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)可以取到不等于1的所有正實(shí)數(shù)得函數(shù)的值域，分析出真數(shù)的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)期間；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇1+log_an，1+log_am]，可得0＜a＜1，問題轉(zhuǎn)化為m，n是f（x）=1+log_ax的兩根，進(jìn)一步整理得到ax²+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有兩不同解，然后利用三個(gè)二次結(jié)合得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組得答案．

解答 解：（1）∵$1-\frac{2}{x+1}$≠1，∴$lo{g}_{a}（1-\frac{2}{x+1}）≠0$，
則$f（x）={log_a}（1-\frac{2}{x+1}）$的值域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞）；
由$1-\frac{2}{x+1}＞0$，解得x＜-1或x＞1，且1-$\frac{2}{x+1}$在（-∞，0）、（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間：（-∞，-1），（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的減區(qū)間：（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇1+log_an，1+log_am]，
由m＜n，及1+log_an＜1+log_am，得0＜a＜1，
∴f（m）=1+log_am，f（n）=1+log_an，
∴m，n是f（x）=1+log_ax的兩根，
∴${log_a}（1-\frac{2}{X+1}）=1+{log_a}x$，化簡得ax²+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有兩不同解，
設(shè)G（x）=ax²+（a-1）x+1，則$\left\{{\begin{array}{l}{G（1）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞1}\\{△＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜a＜3-2\sqrt{2}$．
∴存在實(shí)數(shù)a∈（0，3-$2\sqrt{2}$），使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇1+log_an，1+log_am]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域、值域及其求法，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．