Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若與交于，兩點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程為；的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去參數(shù)即可求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，,即可求得的直角坐標(biāo)方程;

（Ⅱ）理解參數(shù)的幾何意義并利用其幾何意義,聯(lián)立直線和曲線方程,利用韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算求解即可.

（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，

即的普通方程為.

由，得，

將，代入，得，

即的直角坐標(biāo)方程.

（2）由（為參數(shù)），可得（），

故的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外）與原點(diǎn)連線的斜率.

由題意知，當(dāng)時(shí)，，

則與只有一個(gè)交點(diǎn)不符合題意，故.

把（為參數(shù)）代入，

得，設(shè)此方程的兩根分別為，，

由韋達(dá)定理可得，，，

所以.