Question

7．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）若橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，求b的值；
（Ⅱ）過(guò)F₁的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的離心率為$\frac{1}{2}$，利用橢圓性質(zhì)能求出b．
（Ⅱ）由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，且2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{1-^{2}}}{\sqrt{1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，
過(guò)F₁的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，
|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
∴由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
解得|AB|=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法及應(yīng)用，考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．