Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，則A₁C與DE所成的角的余弦為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接A₁B、AB₁交于點F，連接DF、EF、A₁D、BD，根據(jù)△A₁BC的中位線，得到∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁C與DE所成的角．再設(shè)正方體棱長為2，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在△DEF中計算出各邊的長，最后用余弦定理算出A₁C與DE所成的角的余弦．
解答：解：連接A₁B、AB₁交于點F，連接DF、EF、A₁D、BD
設(shè)正方體棱長為2，則對角線A₁C==2
∵△A₁BC中，E、F分別是BC、A₁B的中點
∴EF∥A₁C且EF=A₁C=
∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁C與DE所成的角
∵△A₁BD中，A₁D=DB=A₁B=AB=2
∴△A₁BD是正三角形，可得中線DF=DB=
∵Rt△CDE中，DE==
∴△DEF中，cos∠DEF==＞0
因此∠DEF為銳角，等于異面直線A₁C與DE所成的角．
即A₁C與DE所成的角的余弦為
故選A
點評：本題在正方體中求異面直線所成的角，著重考查了正方體的性質(zhì)、余弦定理和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．