如圖,、是相互垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段. 點A、B在上,C在上,AM = MB = MN.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)若,求NB與平面ABC所成角的余弦值.
解法一:
(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MNl1 = M,
可得l2⊥平面ABN.
由已知MN⊥l1,AM = MB = MN,
可知AN = NB 且AN⊥NB又AN為
AC在平面ABN內(nèi)的射影,
∴ AC⊥NB
(Ⅱ)∵ Rt △CAN = Rt △CNB,
∴ AC = BC,又已知∠ACB = 60°,
因此△ABC為正三角形。
∵ Rt △ANB = Rt △CNB。
∴ NC = NA = NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角。
在Rt △NHB中,
解法二:
如圖,建立空間直角坐標系M-xyz,
令 MN = 1,
則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0)。
(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂線,l2⊥l1,
∴l2⊥ 平面ABN,
∴l2平行于z軸,
故可設(shè)C(0,1,m)
于是
∴AC⊥NB.
(Ⅱ)
又已知∠ABC = 60°,∴△ABC為正三角形,AC = BC = AB = 2.
在Rt △CNB中,NB =,可得NC =,故C
連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ,)(λ> 0).
∴HN ⊥平面ABC,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.
又
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
A、
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B、
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C、
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D、
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年黑龍江省高三上學期期末考試數(shù)學理卷 題型:填空題
下列四個命題中,真命題的序號有 (寫出所有真命題的序號).
①兩個相互垂直的平面,一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線.
②圓x2+y2+4x+2y+1=0與直線y=相交,所得弦長為2.
③若sin(+)= ,sin(-)=,則tancot=5.
④如圖,已知正方體ABCD- A1B1C1D1,P為底面ABCD內(nèi)一動點,
P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等,則P點的軌跡是拋物線的一部分.
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