Question

點O、A、B依次在直線l上，且|OA|=4|AB|，過B作直線l的垂線，M是這一垂線上的動點，以O為圓心，OA為半徑作圓，ME、MF是圓O的兩條切線，E、F為切點，求△MEF的垂心H的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：以O為原點，直線OA為x軸建立坐標系，T為OM與圓的交點，N為EF與OM的交點，確定T就是H．又因為OM⊥EF，ON⊥ME，所以OE²=ON•OM，即可得出結論．

解答： 解：以O為原點，直線OA為x軸建立坐標系，T為OM與圓的交點，N為EF與OM的交點，記AB=1．以O為圓心的圓方程為x²+y²=16，連結OE，OF．因為OF⊥MF，ET⊥MF，所以OF∥ET，
同理OE∥TF，又OE=OF，所以OETF是菱形．
所以2ON=OT，即T就是H．又因為OM⊥EF，ON⊥ME，所以OE²=ON•OM．
設點H坐標為（x，y）．
點M坐標為（5，b），則點N坐標為（

x

2

，

y

2

），將坐標代入OE²=ON•OM，再由

b

5

=

y

x

得(x-

16

5

)2+y2=(

16

5

)2．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．