Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R，F(xiàn)（x）=，
（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=f（x）+kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于0．

Answer 1

解：（1）依題意，有，
解得，∴f（x）=x²+2x+1，
∴
（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x²+2x+1+kx=x²+（k+2）x+1，
∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸x=，
∵g（x）在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∴．
解得 k≥0，或k≤-4．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨設(shè)n＜0＜m，則有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．
分析：（1）把x=-1代入解析式列出一個(gè)方程，再由函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)得△=0得一個(gè)方程，聯(lián)立方程求解；
（2）由（1）和條件求出g（x）的解析式，再求出對(duì)稱軸，根據(jù)題意和和二次函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解；
（3）由二次函數(shù)是偶函數(shù)的條件得b=0，代入F（x），再由條件判斷出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化簡(jiǎn)后判斷符號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．