Question

11．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，2（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$||$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得∠AOB=120°，∠BCA=60°，故O、A、C、B四點共圓，故|$\overrightarrow{c}$|的最大值為該圓的直徑2R，再利用正弦定理求得2R的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=120°．
∵2（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$||$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|•cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$||$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，∴cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{1}{2}$，
故＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=60°．
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則∠AOB=120°，∠BCA=60°，故O、A、C、B四點共圓，
則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為該圓的直徑2R．
由于AB=1²+1²-2×1×1•cos120°=3，可得AB=$\sqrt{3}$．
△ABC中，由正弦定理可得2R=$\frac{AB}{sin120}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，即|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2，
故選：A．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求出向量的模長，屬于中檔題．