Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別A、B，橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q，且PQ=HP，過點(diǎn)B作直線l⊥x軸，連結(jié)AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由題意得到b，然后結(jié)合離心率及條件a²=b²+c²求得a，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)及Q點(diǎn)的坐標(biāo)，由HP=PQ得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，把P的坐標(biāo)代入橢圓方程可得Q點(diǎn)的軌跡方程，寫出直線AQ的方程，取x=2得到M的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出N的坐標(biāo)，得到向量

OQ

，

NQ

的坐標(biāo)，求其數(shù)量積即可得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0，1），所以b=1，又橢圓的離心率e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，
即3a²=4c²，由a²=b²+c²得a²=1+c²，所以a=2，
故所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線QN與圓O相切．
事實(shí)上，設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1，設(shè)Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x₀，y=2y₀
即x0=x，y0=

1

2

y，將（x₀，y₀）代入

x02

4

+y02=1，得x²+y²=4，
所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
又A（-2，0），直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)，令x=2，則M(2，

8y0

x0+2

)，
又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴N(2，

4y0

x0+2

)，

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0，∴

OQ

⊥

NQ

，∴直線QN與圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用向量的數(shù)量積判斷垂直關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，屬難題．