Question

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別為AB，AC，BC上的點，且滿足AE=FC=CP=1．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF⊥平面EFB，連接A₁B，A₁P．（如圖2）
（Ⅰ）若Q為A₁B中點，求證：PQ∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求證：A₁E⊥EP．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取A₁E中點M，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得QM∥BE，且，進一步可得QM∥PF，且QM=PF，從而四邊形PQMF為平行四邊形，可得PQ∥FM，利用線面平行的判定，可得PQ∥平面A₁EF；
（Ⅱ） 取BE中點D，可得△ADF是正三角形，從而可得EF⊥AD，即A₁E⊥EF，根據(jù)平面A₁EF⊥平面EFB，可得A₁E⊥平面BEF，利用線面垂直的性質(zhì)，可得A₁E⊥EP．
解答：證明：（Ⅰ）取A₁E中點M，連接QM，MF．
在△A₁BE中，Q，M分別為A₁B，A₁E的中點，
所以QM∥BE，且．
因為，
所以PF∥BE，且，
所以QM∥PF，且QM=PF．
所以四邊形PQMF為平行四邊形．
所以PQ∥FM．                                                …（5分）
又因為FM?平面A₁EF，且PQ?平面A₁EF，
所以PQ∥平面A₁EF．                                           …（7分）
（Ⅱ） 取BE中點D，連接DF．
因為AE=CF=1，DE=1，
所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．
又因為AE=ED=1，所以EF⊥AD．
所以在圖2中有A₁E⊥EF．…（9分）
因為平面A₁EF⊥平面EFB，平面A₁EF∩平面EFB=EF，
所以A₁E⊥平面BEF．…（12分）
又EP?平面BEF，
所以A₁E⊥EP．…（14分）
點評：本題考查空間線面位置關系，考查線面平行、線面垂直，解題的關鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．