(福建卷理22)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x1

 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)記f(x)在區(qū)間n∈N*)上的最小值為bxan=ln(1+n)-bx.

(Ⅲ)如果對一切n,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;

(Ⅳ)求證:  

【標(biāo)準(zhǔn)答案】解法一:

(I)因?yàn)?i>f(x)=ln(1+x)-x,所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1,+),且f〃(x)=-1=.

f〃(x)>0得-1<x<0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0);

f〃(x)<0得x>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).

(II)因?yàn)?i>f(x)在[0,n]上是減函數(shù),所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,

an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此c<1,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-,1).

(II)由(i)知

N*)

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)因?yàn)?i>f(x)在上是減函數(shù),所以

   則

(i)因?yàn)?sub>n∈N*恒成立.所以n∈N*恒成立.

  則n∈N*恒成立.

  設(shè) n∈N*,則cg(n)對n∈N*恒成立.

  考慮

  因?yàn)?sub>=0,

  所以內(nèi)是減函數(shù);則當(dāng)n∈N*時(shí),g(n)隨n的增大而減小,

又因?yàn)?sub>=1.

所以對一切因此c≤1,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-∞,1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

     ①當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,左邊<右邊.不等式成立.

     ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立.即

當(dāng)n=k+1時(shí),

=

即n=k+1時(shí),不等式成立

綜合①、②得,不等式成立.

所以

.

【試題解析】

【高考考點(diǎn)】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識,考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查分析問題和解決問題的能力,滿分14分.

【易錯(cuò)提醒】第一問中導(dǎo)數(shù)記不住公式

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(福建卷理22)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x1

 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)記f(x)在區(qū)間n∈N*)上的最小值為bxan=ln(1+n)-bx.

(Ⅲ)如果對一切n,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;

(Ⅳ)求證:  

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