Question

自然數(shù)n的數(shù)字和用S(n)來表示．

(1)是否存在一個自然數(shù)n，使得n＋s(n)＝1980；

(2)證明：在任意兩個連續(xù)的自然數(shù)之中，至少有一個能表示成n＋S(n)的形式，其中n為某個自然數(shù)．

Answer 1

證明：(1)當n＝1962時，n＋S(n)＝1980．

(2)令S_n＝n＋S(n)，如果n的末位數(shù)字是9，則S_n＋1＜S_n；否則S_n＋1＝S_n＋2．對任意兩個連續(xù)的自然數(shù)m(m≥2)，m＋1，在S_n＜m的n中，選擇最大的，并用N表示．這時S_N＋1≥m＞S_N，所以N的末位數(shù)字不是9，從而S_N＋1＝S_N＋2．由m≤S_N＋1＝S_N＋2＜m＋2，即得S_N＋1＝m或S_N＋1＝m＋1．