Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)，若的解集為 ，且 中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值，極小值（2）（3）

【解析】

（1）把代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，有唯一解，與題意不符，舍去；當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)或，結(jié)合，可得，由此求得的值；

（3）把的解集記為，且中有且僅有一個(gè)整數(shù)，可轉(zhuǎn)化為的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，最后求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，，

令，解得或，令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

所以函數(shù)的極大值，極小值；

（2）法一：，令，得或

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以或

當(dāng)時(shí)，得，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，代入得

即，所以

法二：由于，所以，

由，得

設(shè)，，令，得，

當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>.

故不論取何值，方程有且僅有一個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，方程恰有一個(gè)根-2，

此時(shí)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)-2和1

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上遞增，且

所以在上，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，令，得

所以在遞增，在遞減，

所以

要使有解，首先要滿足，解得①

又因?yàn)?/span>，

要使的解集中只有一個(gè)整數(shù)，則

即，解得②

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，

所以，所以，

所以由①和②得：.