Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）若直線x=t（t∈（0，$\frac{π}{2}$）既是函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸又是函數(shù)g（x）=sin2x+acos2x圖象的對(duì)稱軸，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件求得t=$\frac{π}{6}$，再根據(jù)直線x=t=$\frac{π}{6}$ 是函數(shù)g（x）=sin2x+acos2x的圖象的對(duì)稱軸，可得g（0）=g（$\frac{π}{3}$），由此求得a的值．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）由直線x=t（t∈（0，$\frac{π}{2}$）既是函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，可得2t+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴t=$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)直線x=t=$\frac{π}{6}$ 是函數(shù)g（x）=sin2x+acos2x 的圖象的對(duì)稱軸，
可得g（0）=g（$\frac{π}{3}$），即0+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$a，求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．