Question

設直線l：y=kx+m與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，M、N是直線l上兩點且

AM

=

MN

=

NB

，曲線C過點M、N．
（1）若曲線C的方程是x²+y²=20，求直線l的方程；
（2）若曲線C是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓且離心率e∈(0，

3

2

)，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：由直線l：y=kx+m與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點可知直線過第I、II、IV象限，則直線的斜率小于0，截距大于0，又由

AM

=

MN

=

NB

，所以M，N為線段AB的兩個三等分點．
（1）若曲線C的方程是x²+y²=20過M、N兩點，則M，N兩個點都在圓上，滿足圓的方程，代入后，易得直線l的方程；
（2）若曲線C是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓且離心率e∈(0，

3

2

)，則將M，N兩個點的坐標代入后，易得直線l斜率的不等式，解不等式后可能得到直線l斜率的取值范圍．

解答：解：（1）由題意k＜0，m＞0A(-

m

k

，0)，B(0，m)，則M(-

2m

3k

，

m

3

)，N(-

m

3k

，

2m

3

)
代入圓的方程有

4m2 9k2 + m2 9 =20 m2 9k2 + 4m2 9 =20

解得k=-1，m=6（6分）
∴直線l的方程為y=-x+6
（2）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1
將點M(-

2m

3k

，

m

3

)，N(-

m

3k

，

2m

3

)代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

4m2 9k2a2 + m2 9b2 =1 m2 9k2a2 + 4m2 9b2 =1

消去m得：k2=

b2

a2

=1-e2
∵e∈(0，

3

2

)，∴k2∈(

1

4

，1)又k＜0，
∴k∈(-1，-

1

2

)．

點評：解答本題的關鍵是根據已知條件，分析出直線l的斜率及截距的范圍，即：
由直線l與x軸、y軸正半軸有交點，則直線過第I、II、IV象限，則直線的斜率小于0，截距大于0；
由直線l與x軸、y軸負半軸有交點，則直線過第II、III、IV象限，則直線的斜率小于0，截距小于0；
由直線l與x軸負半軸、y軸正半軸有交點，則直線過第I、II、III象限，則直線的斜率大于0，截距大于0；
由直線l與x軸正半軸、y軸負半軸有交點，則直線過第I、II、IV象限，則直線的斜率大于0，截距小于0；