【題目】在四棱錐中中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連接，由是等邊三角形可得，再由底面為直角梯形，結(jié)合已知的邊長(zhǎng)可證得，于是得平面，從而證得結(jié)果；

（2）由條件可得可知兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以．

因?yàn)樵谥苯翘菪?/span>中，，，，所以

所以為等腰三角形，所以

因?yàn)?/span>，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）解：因?yàn)?/span>，，為正三角形的邊上的高，所以．

因?yàn)?/span>，所以，由（1）可知兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，

則，，

設(shè)平面的法向量為

則,即令得．

設(shè)平面的法向量為

則,即令，則

因?yàn)槎娼?/span>為銳二面角，所以其余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖（甲），是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，將沿折成四棱錐，使，如圖（乙）．

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

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【題目】端午節(jié)是我國(guó)民間為紀(jì)念愛國(guó)詩(shī)人屈原的一個(gè)傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機(jī)問卷調(diào)查了該市1000名消費(fèi)者在去年端午節(jié)期間的粽子購(gòu)買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購(gòu)買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費(fèi)者粽子購(gòu)買量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬(wàn)名消費(fèi)者，請(qǐng)估計(jì)該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場(chǎng)需求（以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的購(gòu)買量）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿足條件（對(duì)任意的）的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為.

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，判斷是否屬于，并說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)為，判斷是否屬于，并說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)，都在的圖象上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．

（1）證明：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了比較兩種治療某病毒的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)隨機(jī)地選取了服用甲藥的患者和服用乙藥的患者進(jìn)行研究，根據(jù)研究的數(shù)據(jù)，繪制了如圖1等高條形圖

.

（1）根據(jù)等高條形圖，判斷哪一種藥的治愈率更高，不用說(shuō)明理由；

（2）為了進(jìn)一步研究?jī)煞N藥的療效，從服用甲藥的治愈患者和服用乙藥的治愈患者中，分別抽取了10名，記錄他們的治療時(shí)間（單位：天），統(tǒng)計(jì)并繪制了如圖2莖葉圖，從莖葉圖看，哪一種藥的療效更好，并說(shuō)明理由；

（3）標(biāo)準(zhǔn)差s除了可以用來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度外，還可以刻畫每個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度，如果出現(xiàn)了治療時(shí)間在（3s，3s）之外的患者，就認(rèn)為病毒有可能發(fā)生了變異，需要對(duì)該患者進(jìn)行進(jìn)一步檢查，若某服用甲藥的患者已經(jīng)治療了26天還未痊愈，請(qǐng)結(jié)合（2）中甲藥的數(shù)據(jù)，判斷是否應(yīng)該對(duì)該患者進(jìn)行進(jìn)一步檢查？

參考公式：s，

參考數(shù)據(jù)：48.

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