Question

將函數(shù)f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式和定義域；
（2）求函數(shù)y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

Answer 1

（1）將函數(shù)f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=log₂（x+2）的圖象，
再將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2log₂（x+2）的圖象，
故函數(shù)g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．…（4分）
（2）函數(shù)y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log₂（x）-2log₂（x+2）=log2

x

(x+2)2

，x＞0．…（6分）
令u(x)=

x

(x+2)2

，x＞0，則u=

x

x2+4x+4

=

1

x+ 4 x +4

≤

1

8

，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
故當(dāng)x=2時(shí)，即u=

1

8

時(shí)，函數(shù)y=F（x）=log₂u取得最大值為 log2

1

8

=-3． …（12分）