Question

已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）若對任意的x∈[2，+∞），都有f（x）＞0，試求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域．

Answer 1

解：（1）f（x）＞0即為x+-2＞1，
∵x∈[2，+∞），則x²-3x+a＞0恒成立，
由對稱軸x=，則必有2²-3×2+a＞0，
∴a＞2．
（2）由題意，x+-2＞0，
∵a＞0，則顯然x＜0不成立；故x＞0，
不等式可變形為x²-2x+a＞0，不妨設(shè)g（x）=x²-2x+a，
則當(dāng)△＜0，即4-4a＜0，此時a＞1，定義域為（0，+∞）．
當(dāng)△≥0，即0＜a≤1時，定義域為（0，1-）∪（1+，+∞）．
綜上，當(dāng)a＞1，定義域為（0，+∞）；0＜a≤1時，定義域為（0，1-）∪（1+，+∞）．
分析：（1）f（x）＞0?x+-2＞1?x²-3x+a＞0恒成立，x∈[2，+∞）；利用g（x）=x²-3x+a在x∈[2，+∞）上的單調(diào)遞增的性質(zhì)即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由題意，x+-2＞0（x＞0）?x²-2x+a＞0（x＞0），構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2x+a，分△＜0與△≥0討論即可求得函數(shù)f（x）的定義域．
點評：本題考查函數(shù)函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．