Question

已知函數(shù) f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）當(dāng) m=2時(shí)，求函數(shù) f（x）的最小值；
（2）當(dāng) m≤0時(shí)，討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（3）求證：當(dāng) m=-2時(shí)，對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（1）將m=2代入，求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分-1＜m≤0，m=-1和m＜-1時(shí)三種情況，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，即證明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，將m=-2代入，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)m=2時(shí)，f′(x)=

x2+x-2

x

=

(x-1)(x+2)

x

．
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1時(shí)取得最小值，其最小值為 f（1）=

3

2

．
（2）∵f′(x)=x-

m

x

+(m-1)=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴①當(dāng)-1＜m≤0即-m＜1時(shí)，
若x∈（0，-m）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（-m，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)
②當(dāng)m=-1時(shí)，
f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
③當(dāng)m＜-1即-m＞1時(shí)，
x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（1，-m）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（-m，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
證明：（3）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即證明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁
當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)f(x)=

1

2

x2+2lnx-3x．
考查函數(shù)h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x
∵h′(x)=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

＞0
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
對(duì)任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1
命題得證

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握向量法判斷函數(shù)單調(diào)性和最值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．