Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，當(dāng)點(diǎn)B位于何處時，圖書館的占地面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

解：設(shè)OB與OM之間的夾角為θ，由題意可知，點(diǎn)M為PQ弧的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD．
設(shè)OM于BC的交點(diǎn)為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ．…..（4分）
∴AB=OF-AD=Rcosθ-Rsinθ …..（6分）
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=R²sin（2θ+）-R²，，
∵，∴ …..（11分）
所以當(dāng)，即θ= 時，S有最大值．
即．…..（14分）
答：當(dāng)時，圖書館的占地面積最大，最大值為．…..（15分）
分析：設(shè)OB與OM之間的夾角為θ，利用S=AB•BC，求出面積，利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．