Question

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題．
（1）已知動點(diǎn)P為圓O：x²+y²=r²外一點(diǎn)，過P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，若

PA

•

PB

=0，求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若動點(diǎn)Q為橢圓M：

x2

9

+

y2

4

=1外一點(diǎn)，過Q引橢圓M的兩條切線QC、QD，C、D為切點(diǎn)，若

QC

•

QD

=0，求出動點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）在（2）問中若橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其余條件都不變，那么動點(diǎn)Q的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理,類比推理

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由切線的性質(zhì)及

PA

•

PB

=0可知，四邊形OAPB為正方形，所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|OP|長為半徑的圓上，進(jìn)而可得動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)兩切線為l₁，l₂，分當(dāng)l₁與x軸不垂直且不平行時，和當(dāng)l₁與x軸垂直或平行時兩種情況，結(jié)合

QC

•

QD

=0，可得動點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）類比（2）的求解過程，可得動點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：（1）由切線的性質(zhì)及

PA

•

PB

=0可知，四邊形OAPB為正方形，
所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|OP|長為半徑的圓上，且|OP|=

2

|OA|=

2

r，
進(jìn)而動點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=2r²…（3分）
（2）設(shè)兩切線為l₁，l₂，
①當(dāng)l₁與x軸不垂直且不平行時，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x₀，y₀）則x₀≠±3，
設(shè)l₁的斜率為k，則k≠0，l₂的斜率為-

1

k

，
l₁的方程為y-y₀=k（x-x₀），聯(lián)立

x2

9

+

y2

4

=1，
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0，…（5分）
因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以△=0，得182k2(y0-kx0)2-4(4+9k2)•9[(y0-kx0)2-4]=0，
化簡，9k2(y0-kx0)2-(4+9k2)(y0-kx0)2+(4+9k2)4=0，
進(jìn)而  (y0-kx0)2-(4+9k2)=0，
所以(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0…（7分）
所以k是方程(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0的一個根，
同理-

1

k

是方程(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0的另一個根，
∴k•（-

1

k

）=

y 2 0 -4

x 2 0 -9

，得

x

2 0

+

y

2 0

=13，其中x₀≠±3，…（9分）
②當(dāng)l₁與x軸垂直或平行時，l₂與x軸平行或垂直，
可知：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（±3，±2），
∵P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足

x

2 0

+

y

2 0

=13，
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為：

x

2 0

+

y

2 0

=13．…（10分）
（3）動點(diǎn)Q的軌跡方程是

x

2 0

+

y

2 0

=a2+b2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是軌跡方程，類比推理，向量數(shù)量積運(yùn)算，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．