Question

已知常數(shù)p＞0且p≠1，數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若對(duì)于區(qū)間[0，1]上的任意實(shí)數(shù)λ，總存在不小于2的自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，整理得a_n=pa_n-1又
恒有a_n＞0從而數(shù)列a_n等比數(shù)列
（2）由（1）知a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）++（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2
∴（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2）變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時(shí)恒成立
記f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4則有：或n≤1但由于n≥2∴n≥4
綜上知：k的最小值為4
分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，，整理得a_n=pa_n-1，由a_n＞0，知，故數(shù)列{a_n}等比數(shù)列．
（2）由a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1，知b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2，故（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2），變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時(shí)恒成立．由此能求出k的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意等比數(shù)列的證明．