【題目】如圖，在直角坐標(biāo)中，設(shè)橢圓：的左右兩個焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個交點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為，直線與橢圓有兩個不同的和交點(diǎn)，請問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

【答案】（1）橢圓C的方程為；（2）不存在常數(shù)，使得向量與共線，理由見解析。

【解析】

試題分析：

(1)由題意結(jié)合橢圓的定義有：，在中應(yīng)用勾股定理可得，結(jié)合可得，則橢圓的方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意；

當(dāng)直線斜率存在時：設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由判別式大于零可得．設(shè),由韋達(dá)定理可得 ，，而，則原問題等價于．聯(lián)立方程可得．而，故不存在常數(shù)，使得向量與共線．

試題解析：

(1)由橢圓定義可知.

由題意,.

又由△可知，,，

又，得.

橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意；

直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程，得．

整理，得①

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和等價于，

解得．

設(shè),則＝,

由①得②

又③

因?yàn)?/span>，所以．

所以與共線等價于．

將②③代入上式，解得．

因?yàn)?/span>

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線．

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【題目】已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（　�。�

A. B. C. D.

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（1）求二面角的余弦值；

（2）設(shè)是棱上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

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（Ⅰ）設(shè)集合和，分別從集合和中隨機(jī)取一個數(shù)作為m和n，求函數(shù)是增函數(shù)的概率；

（Ⅱ）實(shí)數(shù)m，n滿足條件求函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率．

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【題目】如圖，橢圓E： 的左焦點(diǎn)為F1 ， 右焦點(diǎn)為F2 ， 離心率e= ．過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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(I)證明：PQ//平面BCD;

(II)若異面直線PQ與CD所成的角為，二面角C-BM-D的大小為，求cos的值。

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