Question

10．已知f（x）是定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²+4x+1
（1）用定義證明f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞f（1-x）．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：在區(qū)間[0，2]上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+4x₁+1-（x₂²+4x₂+1）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+4），
∵0≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，2]上是增函數(shù)．（4分）
（2）由已知：f（|x|）＞f（|1-x|），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-2≤1-x≤2}\\{|x|＞|1-x|}\end{array}}\right.$
解得$\frac{1}{2}＜x≤2$
∴不等式的解集為$（{\frac{1}{2}，2}]$（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及不等式的求解，利用定義法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．