Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=1nx．
（1）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，求a的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點(diǎn)．平行于AB的切線以 P（x₀，y₀）為切點(diǎn)，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

解：（1）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不等的實(shí)根
?ax²-x=1nx有兩個(gè)不等的實(shí)根?有兩個(gè)不等的實(shí)根
?函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
令r（x）=，則r′（x）=
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r′（x）＞0，則r（x）單調(diào)遞增，且r（e^-1）=，
當(dāng)x＞1時(shí)，r′（x）＜0，則r（x）單調(diào)遞減，且，
所以r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1
所以要使函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．只需0＜a＜1
（2）由已知：過點(diǎn)P的切線的斜率為k=，所以
=
設(shè)t=得，構(gòu)造函數(shù)y=t-1-lnt，
當(dāng)t≥1時(shí)，y′=，所以函數(shù)y=t-1-lnt在t≥1時(shí)是增函數(shù)．
于是t＞1時(shí)，t-1-lnt＞0，則x₀-x₁＞0即x₀＞x₁成立．
同理可證x₂＞x₀成立．
故有x₁＜x₀＜x₂．
分析：（1）通過等價(jià)轉(zhuǎn)化把問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=a與y=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)y=得結(jié)論．
（2）利用某點(diǎn)處的切線斜率等于其導(dǎo)數(shù)值得特點(diǎn)建立關(guān)系式，通過作差法構(gòu)造函數(shù)來比較大小．
點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其特性是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．