Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

，離心率為

3

3

，經(jīng)過(guò)其左焦點(diǎn)F₁的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)長(zhǎng)軸2a的長(zhǎng)和離心率e=

c

a

，列出方程組求出a與c的值，然后根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出b的值，把a(bǔ)與b的值代入設(shè)出的橢圓方程即可確定出橢圓C的方程；
（II）根據(jù)（I）求出的c的值寫(xiě)出橢圓左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)，假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)，分兩種情況考慮：①當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出過(guò)左焦點(diǎn)F₁的直線方程，以及P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把所設(shè)的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積，然后表示出

MP

•

MQ

，把其中的縱坐標(biāo)代換為橫坐標(biāo)，化簡(jiǎn)后將求出的兩根之和與兩根之積代入得到一個(gè)關(guān)系式，由此關(guān)系式與k的取值無(wú)關(guān)，得到關(guān)于t的式子為0，即可求出此時(shí)t的值，從而此時(shí)這個(gè)常數(shù)；②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求出P與Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，且求出t及

MP

•

MQ

的值，與①中求出的常數(shù)相等，綜上，在x軸上存在一點(diǎn)M，使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)．
由題意，得

2a=2 3 c a = 3 3

，解得

a= 3 c=1

，所以b²=2．（3分）
所求的橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（II）由（I）知F₁（-1，0）．
假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)．
①當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x+1），P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．（6分）
所以x1+x2=-

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

．（7分）

MP

•

MQ

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=

(k2+1)(3k2-6)

2+3k2

-

(k2-t)•6k2

2+3k2

+k2+t2=

(6t-1)k2-6

2+3k2

+t2
=

(2t- 1 3 )(2+3k2)-(4t+ 16 3 )

2+3k2

+t2=t2+2t-

1

3

-

4t+ 16 3

2+3k2

．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

MP

•

MQ

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有4t+

16

3

=0，即t=-

4

3

．（10分）
此時(shí)

MP

•

MQ

=-

11

9

．（11分）
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(-1，

2 3

3

)、(-1，-

2 3

3

)，
當(dāng)t=-

4

3

時(shí)，亦有

MP

•

MQ

=-

11

9

．（13分）
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(-

4

3

，0)，使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為-

11

9

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的應(yīng)用，及平面向量的運(yùn)算法則，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．