Question

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點(diǎn)到A、B 的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（3）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，一是設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)M(x, y)，二是列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，三是化簡(jiǎn)，，四是去雜，x≠0；（2）涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，往往是通過相關(guān)點(diǎn)法求對(duì)應(yīng)軌跡方程，設(shè)P（x, y），則，代入M的軌跡方程有，利用橢圓定義解出相關(guān)點(diǎn)法也叫轉(zhuǎn)移法，即將未知轉(zhuǎn)移到已知，用未知點(diǎn)坐標(biāo)表示已知點(diǎn)坐標(biāo)，是一種化歸思想，（3）直線與橢圓位置關(guān)系，一般先分析其幾何性，再用代數(shù)進(jìn)行刻畫.本題中的三角形可分解為兩個(gè)同底三角形，底長(zhǎng)都為，所以三角形面積最大值決定于高，即橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，這可結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行列式分析

試題解析：【解析】
（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x, y)(x≠0)，則

又由AC⊥BD有，即，

∴x2+y2=1（x≠0）. （4分）

（2）設(shè)P（x, y），則，代入M的軌跡方程有

即，∴P的軌跡為橢圓（除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)）.

要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點(diǎn)，故.

∴ 從而所求P的軌跡方程為. 9分

（3）易知l的斜率存在，設(shè)方程為聯(lián)立9x2+y2=1，有

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則

令，則且

，

所以當(dāng)，即也即時(shí)，面積取最大值，最大值為． 12分

考點(diǎn)：直接法求軌跡方程，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，直線與橢圓位置關(guān)系