Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點在x軸上，過點（1，

1

2

 ）作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A、B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是（　�。�

• A．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  5

  =1
• C．

  x2

  5

  +

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  9

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：設過點（1，

1

2

 ）的圓x²+y²=1的切線為l，根據(jù)直線的點斜式，結合討論可得直線l分別切圓x²+y²=1相切于點A（1，0）和B（0，2）．然后求出直線AB的方程，從而得到直線AB與x軸、y軸交點坐標，得到橢圓的右焦點和上頂點，最后根據(jù)橢圓的基本概念即可求出橢圓的方程．

解答：解：設過點（1，

1

2

 ）的圓x²+y²=1的切線為l：y-

1

2

=k（x-1），即kx-y-k+

1

2

=0
①當直線l與x軸垂直時，k不存在，直線方程為x=1，恰好與圓x²+y²=1相切于點A（1，0）；
②當直線l與x軸不垂直時，原點到直線l的距離為：d=

|-k+ 1 2 |

k2+1

=1，解之得k=-

3

4

，
此時直線l的方程為y=-

3

4

x+

5

4

，l切圓x²+y²=1相切于點B（

3

5

，

4

5

）；
因此，直線AB斜率為k₁=

0- 4 5

1- 3 5

=-2，直線AB方程為y=-2（x-1）
∴直線AB交x軸交于點A（1，0），交y軸于點C（0，2）．
橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點為（0，1），上頂點為（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1
故選C

點評：本題給出過定點直線與單位圓相切于A、B兩點，直線AB過橢圓的右焦點和上頂點，求橢圓的方程，著重考查了直線的基本量與基本形式和橢圓的基本概念等知識點，屬于基礎題．