Question

設(shè)各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}滿足：對任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1．記b_n=aan．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若b_n=3n，證明：a₁=2；
（3）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，c_n=a an+1，{c_n}是公差為1的等差數(shù)列．記d_n=-2ⁿ•a_n，S_n=d₁+d₂+…+d_n-1+d_n，問：使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整數(shù)n是否存在？并說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式求出a_n=2^n-1，再求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)反證法排除a₁=1和a₁≥3，即可證明：a₁=2；
（3）首先{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，a_n=n，再利用錯位相減法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁=a_a1=a₁=1，b_n=aan=a2n-1=22n-1-1；
（2）根據(jù)反證法排除a₁=1和a₁≥3．
證明：假設(shè)a₁≠2，∴a₁=1和a₁≥3
①當(dāng)a₁=1時，b₁=a_a1=a₁=1與b₁=3矛盾，∴a₁≠1；
②當(dāng)a₁≥3時，即a₁≥3=b₁=a_a1，又a_n＜a_n+1，
∴a₁≤1與a₁≥3矛盾；
由①②可知a₁=2．
（3）首先{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
證明如下：∵a_n＜a_n+1，
∴n≥2時，a_n-1＜a_n，
∴a_n≥a_n-1+1，
∴a_n≥a_m+（n-m）（m＜n），
∴aan+1+1≥aan+1+[a_n+1+1-（a_n+1）]即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由題設(shè)1≥a_n+1-a_n，
又a_n+1-a_n≥1，
∴a_n+1-a_n=1，
即{a_n}是等差數(shù)列．
又{a_n}的首項a₁=1，
∴a_n=n，
∴Sn=-(2+2•22+3•23+…+n•2n)，對此式兩邊乘以2，得2Sn=-22-2•23-3•24-…-n•2n+1
兩式相減得Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2Sn+n•2n+1=2n+1-2，Sn+n•2n+1＞50，
即2ⁿ⁺¹≥52，
當(dāng)n≥5時，2ⁿ⁺¹=64＞52，即存在最小正整數(shù)5使得Sn+n•2n+1＞50成立．

點評：數(shù)列的通項與求和，離不開等差數(shù)列與等比數(shù)列，掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項與求和是關(guān)鍵．