Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x＞2時，g（x）=a（x-2）-（x-2）³（a為常數(shù)）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）對區(qū)間[1，+∞）上的每個x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），從而可求出函數(shù)f（x）的解析式，最后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在R上的解析式；
（2）由題意x∈[1，+∞）時，[f（x）]_min≥-2af'（x）=-a+3x²，下面對a進行分類討論：①當a≤0時，②當a＞0時，再分：

a 3

＜1，和

a 3

≥1兩種情況分別求出a的范圍，最后綜合即可得出a的取值范圍．

解答：解：（1）1°當x＜0時，2-x＞2，
設(shè)P（x，y）（x＜0）為y=f（x）上的任一點，
則它關(guān)于直線x=1的對稱點為P₁（x₁，y₁），
滿足

x1=2-x y1=y

，
且P₁（x₁，y₁）適合y=g（x）的表達式
∴y₁=a（x₁-2）-（x₁-2）³即y=-ax+x³…（4分）
2°當x＞0時，-x＜0，∵f（x）為奇函數(shù)∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）³]=-ax+x³…（5分）
3°當x=0時，f（x）=0=-a×0+0³
綜上  f（x）=-ax+x³，x∈R…（6分）
（2）由題意x∈[1，+∞）時，[f（x）]_min≥-2af'（x）=-a+3x²，
當a≤0時，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
當a＞0時，令f'（x）=0得x1=-

a 3

，x2=

a 3

若

a 3

＜1，即0＜a＜3時，則f'（x）在[1，+∞）大于零，f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，∴f（1）=-a+1≥-2a得0＜a＜3…（10分）
若

a 3

≥1，即a≥3時，則f（x）在[1，+∞）的最小值是f(

a 3

)=-a

a 3

+(

a 3

)3=-

2a

3

a 3

令f(

a 3

)≥-2a得3≤a≤27…（11分）
綜上-1≤a≤27…（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的解析式的求解和恒成立的證明，同時考查了分類討論思想，屬于中檔題．