Question

（本小題12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中點(diǎn)。

（1）求證：平面AEC⊥平面AMN；    （6分）

（2）求二面角M－AC－N的余弦值。   （6分）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

【解析】方法一、傳統(tǒng)幾何

（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中點(diǎn)，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E從而MN⊥平面AEC；

（2）這里也有多種方法：

連接BD交AC與點(diǎn)O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根據(jù)長度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成兩個二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面體MNAC，再求側(cè)面與地面所成角；或者求平面ACN的垂線MB和平面ACM的垂線DN之間的夾角）

   方法二、向量幾何

MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD為正方形DA⊥DC，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。

則各點(diǎn)的坐標(biāo)A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），

E（，，1）                             ……3分

 （1）  ·=…=0MN⊥AE；

·=…=0MN⊥AC

                       又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；       ………7分

 （2）不妨設(shè)平面AMC的法向量為=（1，y，z），平面ANC的法向量為=（1，m，n） 則由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐標(biāo)解得=（1,1,1）---9分

由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐標(biāo)運(yùn)算得=（1,1，－1）--11分

   Cos<,>==                             -------12分