Question

已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上,右準線方程為x=1,傾斜角為的直線L交橢圓C于P、Q兩點,且線段PQ的中點坐標為(－，)。

(1)求橢圓C的方程；

(2)設A為橢圓C的右頂點。M、N為橢圓C上兩點，且|OM|、|OA|、|ON|三者的平方成等差數(shù)列,試判斷直線OM與ON斜率之積的絕對值是否為定值?如果是,請求出定值；若不是,請說明理由。

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設橢圓方程為=1(a>b>0)            ① 直線L的方程為y－, 即y=x+                                      ② 由①、②得 (a2+b2)x2+a2x+a2－a2b2=0 設P(x1,y1),Q(x2,y2)，則 xl+x2=－, 即a2=2b2                                         ③ 又由C的準線方程為x=1,得 =1,即c=a2。                                    ④ 又a2=b2+c2                                        ⑤ 由③、④、⑤得 a2=,b2= ∴橢圓C的方程為2x2+4y2=1 (2)證法一：設M(x3,y3)，N(x4,y4)，則 2x32+4y32－1,2x42+4y42=l 以上兩式相加，整理得 x32+x42+2(y32+y42)=1                             ⑥ ∵|OM|、|OA|、|ON|三者的平方成等差數(shù)列， ∴|OM|2+|ON|2=|OA|2 又A為橢圓C的右頂點|OA|2= ∴|OM|2+|ON|2=。 ∴(x32+x42)+(y32+y42)=                  ⑦ 由⑥、⑦，解得 x32+x42=,y32+y42= ∵x32·x42=()2(1－4y32)(1－4y42) =[1—4(y32+y42)+16y32y42] =4y32y42, ∴, 即|kOP·kOQ|=|為定值。 證法二：設M(x3,y3)，N(x4,y4)， 則k1=,2x32+4y32=1 ∴2x32+4k12x32=1， x32= 同理，得 x42= 由|OM|2+|ON|2=|OA|2，得 x32+y32+x42+y42= ∴ 即 解得k12k22= ∴|k1k2|=為定值。 證法三：設M（cos,sin),N(cosβ,sinβ)，則由|OM|2+|ON|2=|OA|2。得 x32+y32+x42+y42= ∴cos2+sin2+cos2β+sin2β= ∴cos2－sin2β=0, 即cos2β－sin2=0 又∵k1=tana,k2=tanβ, ∴tan2tan2β=·= ∴|k1k2|=為定值。