Question

在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點.

(1)證明AC⊥SB;

(2)求二面角N-CM-B的大�。�

(3)求點B到平面CMN的距離.

Answer 1

(1)證明：取AC的中點D，連結(jié)SD、DB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥BD.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

(2)解：∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

過N作NE⊥BD于點E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于點F，連結(jié)NF，則NF⊥CM.

∴∠NFE為二面角NCMB的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，

∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，

∴NE∥SD.∵SN=NB,

∴NE=SD=，且ED=EB.

在正△ABC中，由平面幾何知識可求得

EF=MB=,

在Rt△NEF中，tan∠NFE=.

∴二面角NCMB的大小是arctan.

(3)解：在Rt△NEF中，NF=,

∴S_△CMN=CM·NF=,

S_△CMB=BM·CM=.

設(shè)點B到平面CMN的距離為h,

∵V_B—CMN=V_N—CMB,NE⊥平面CMB，

∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE.

∴h=，

即點B到平面CMN的距離為