Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4），對于偶函數(shù)y=g（x）（x∈R），當(dāng)x≥0時，g（x）=f（x）-2x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求當(dāng)x＜0時，函數(shù)y=g（x）的解析式，并在給　定坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)y=g（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）設(shè)y=f（x）=x^α，代入點（2，4）
得4=2^α，
∴α=2，
∴f（x）=x²
（2）∵f（x）=x² ∴當(dāng)x≥0時g（x）=x²-2x
設(shè)x＜0，則-x＞0，∵y=g（x）是R上的偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
即當(dāng)x＜0時，f（x）=x²+2x
圖象如右圖所示
（3）函數(shù)y=|g（x）|的圖象如圖
由圖象知，函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間是：（-∞，-2]，[-1，0]，[1，2]
分析：（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)f（x）=x^α，代入點（2，4），解指數(shù)方程即可得α值；
（2）利用偶函數(shù)的定義，設(shè)x＜0，則-x＞0，f（x）=f（-x），再代入已知解析式即可得x＜0時，函數(shù)y=g（x）的解析式，最后利用對稱性畫出函數(shù)圖象即可；
（3）先畫出函數(shù)y=|g（x）|的圖象，即將函數(shù)y=g（x）的圖象x軸下面的部分翻到上面，再根據(jù)圖象寫出此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可
點評：本題考查了冪函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用函數(shù)的對稱性求函數(shù)解析式的方法，函數(shù)圖象的畫法和函數(shù)圖象的翻折變換