Question

6．若函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值為6．
（1）求常數m的值；
（2）求函數當x∈R時的最小值，并求出相應的x的取值集合；
（3）求該函數x∈[0，π]的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 化簡函數的解析式為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用已知條件求出相位的范圍，然后求解m即可．
（2）求出函數的最小值，然后求解x的集合．
（3）利用正弦函數的單調區(qū)間求解函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+1+2cos2x+m=2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$
（1）∵函數f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{6}]$上為增函數，在區(qū)間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上為減函數，
∴在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$的最大值為$f（\frac{π}{6}）=2sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）=2+m+1$=6，
∴解得m=3．
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$（x∈R）的最小值為-2+4=2．
此時x的取值集合由$2x+\frac{π}{6}=\frac{3π}{2}+2kπ，（k∈Z）$，
解得：$\{x|x=\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z\}$…（7分）
（3）函數設z=$2x+\frac{π}{6}$，函數f（x）=2sinz+4的單調增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
設A=[0，π]
B={x|$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}，∴$A∩B=[0，\frac{π}{6}]∪[\frac{2π}{3}，π]$
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，x∈[0，π]的增區(qū)間為：$[0，\frac{π}{6}]，[\frac{2π}{3}，π]$．…（13分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數，函數的最值以及函數的單調區(qū)間的求法，考查計算能力．