Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個(gè)等于1的解或無解，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）將不等式分離參數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個(gè)等于1的解或無解，
∴a＜0．…（6分）
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R；
②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1，x＞1 -(x+1)，x＜1

因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此時(shí)a≤-2．
綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)成根的問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查恒成立問題，正確變形是解題的關(guān)鍵．