Question

設a，b，c，x，y，z是正數，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，則

a+b+c

x+y+z

=

1

2

．

Answer 1

分析：根據所給“積和結構”條件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等號成立的條件即可．

解答：解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，
當且僅當

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

時等號成立
∵a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，
∴（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，中等號成立，
∴一定有：

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

，
∴

a

x

=

b

y

=

c

z

=

1

2

則

a+b+c

x+y+z

=

1

2

故答案為：

1

2

．

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．