Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∝]內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（3）對于函數(shù)g（x）=（p-x）e^-x+1，若存在x∈[1，e]，使不等式g（x）≥lnx成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）因為f（x）在區(qū)間[1，+∞]內(nèi)調(diào)遞增令f′（x）≥0得到a的取值范圍；
（2）a≥1時，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，所以f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，所以求出f（x）的最小值f（1）；在當(dāng)，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，這時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，所以求出最小值f（e）；在時，最小值為f（）．把最小值綜合起來即可；
（3）把x=x代入到g（x）=（p-x）e^-x+1中得到g（x），然后設(shè)h（x）=（lnx-1）e^x+x，求出其導(dǎo)函數(shù)h′（x）并證明其大于零得到函數(shù)是增函數(shù)，則最小值為h（1），得到p≥h（1）．
解答：解：
（1）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即上恒成立
又∵當(dāng)，
∴a≥1．即a的取值范圍為[1，+∞）
（2）當(dāng)a≥1時，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，這時f（x）在[1，e]上為增函數(shù)
∴f（x）_min=f（1）=0
①當(dāng)，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，這時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)∴
②當(dāng)時，令又∵，
∴
綜上，f（x）在[1，e]上的最小值為
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，
③當(dāng)a≥1時，f（x）_min=0
（3）因為x∈[1，e]，所以，存在x∈[1，e]使成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，從而p≥h_min（x）（x∈[1，e]）
由（2）知當(dāng)a≥1時，成立，即在[1，e]上成立．
從而，
所以，h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上單調(diào)遞增．
所以，h_min（x）=h（1）=1-e所以，p≥1-e
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，恒等式成立的問題解決能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值的能力．