【題目】在推導很多三角恒等變換公式時,我們可以利用平面向量的有關知識來研究,在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式:
具體過程如下:
如圖,在平面直角坐標系內作單位圓O,以
為始邊作角
.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A,B.
則
由向量數(shù)量積的坐標表示,有:
設的夾角為θ,則
另一方面,由圖3.1—3(1)可知,;由圖可知,
.于是
.
所以,也有
,
所以,對于任意角有:
(
)
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角
的余弦值之間的關系,稱為差角的余弦公式,簡記作
.
有了公式以后,我們只要知道
的值,就可以求得
的值了.
閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關數(shù)據(圖中M是AB的中點),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:
(1)判斷是否正確?(不需要證明)
(2)證明:
(3)利用以上結論求函數(shù)的單調區(qū)間.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學有初中學生1800人,高中學生1200人.為了解學生本學期課外閱讀時間,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間,然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組,再將每組學生的閱讀時間(單位:小時)分為5組:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分別加以統(tǒng)計,得到如下圖所示的頻率分布直方圖.
(I)寫出a的值;
(II)試估計該校所有學生中,閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù);
(III)從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人,并用X表示其中初中生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線(
為參數(shù)),曲線
,將
的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標縮短為原來的
得到曲線
.
(1)求曲線的普通方程,曲線
的直角坐標方程;
(2)若點為曲線
上的任意一點,
為曲線
上的任意一點,求線段
的最小值,并求此時的
的坐標;
(3)過(2)中求出的點做一直線
,交曲線
于
兩點,求
面積的最大值(
為直角坐標系的坐標原點),并求出此時直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:
①函數(shù)的最小值為
,最大值為9;
②且
;
③若函數(shù)在區(qū)間
上是單調函數(shù),則
的最大值為2.
試探究并解決如下問題:
(Ⅰ)求,并求
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的圖象的對稱軸方程;
(Ⅲ)設是函數(shù)
的零點,求
的值的集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高三年級有1000人,某次數(shù)學考試不同成績段的人數(shù).
(1)求該校此次數(shù)學考試平均成績;
(2)計算得分超過141的人數(shù);
(3)甲同學每次數(shù)學考試進入年級前100名的概率是,若本學期有4次考試,
表示進入前100名的次數(shù),寫出
的分布列,并求期望與方差.
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