Question

已知f(x)=3cos(x+

3π

2

)+cos(x-

3π

2

)+sin(x+π)+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（3）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義，可求a的值；
（2）根據(jù)周期公式，可求f（x）的最小正周期；
（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，確定x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值，即可求a的值．

解答：解：（1）f(x)=3cos(x+

3π

2

)+cos(x-

3π

2

)+sin(x+π)+a=3sinx-sinx-sinx+a=sinx+a
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴sin（-x）+a=-sinx-a，∴a=0；
（2）T=2π；
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx∈[0，1]
∴f（x）的最大值為1+a
∵f（x）的最大值為4，
∴1+a=4，∴a=3．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．