Question

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Answer 1

【答案】分析：（1）利用商的求導(dǎo)法則求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)作為工具求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，注意分類討論思想的運(yùn)用；
（3）利用導(dǎo)數(shù)作為工具完成該不等式的證明，注意應(yīng)用函數(shù)的最值性質(zhì)．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是：（0，+∞）
由已知
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵當(dāng)0＜x＜e時(shí)，，
當(dāng)x＞e時(shí)，
∴函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減
故①當(dāng)0＜2m≤e即 時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增
∴，
②當(dāng)m≥e時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減
∴，
③當(dāng)m＜e＜2m，即 時(shí)
∴．
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，，
∴在（0，+∞）上恒有 ，
即 且當(dāng)x=e時(shí)“=”成立，
∴對?x∈（0，+∞）恒有 ，
∵，
∴
即對?n∈N^*，不等式 恒成立．
點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題．本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題，考查函數(shù)的定義域思想，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的思想，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力．